Pesquisa pioneira de matemáticos poloneses sobre a simetria de todas as simetrias

Matemáticos poloneses conseguiram resolver um problema importante em relação ao Simetria de todas as simetrias resolver. Este foi um problema sem solução por várias décadas - um dos maiores desafios da teoria geométrica dos grupos.

Os resultados do Dr. Marek Kaluba (Adam Mickiewicz University e Karlsruhe Institute of Technology), Prof. Dawid Kielak (University of Oxford) e Prof. Piotr Nowak (Instituto de Matemática da Academia Polonesa de Ciências) foram publicados em uma das revistas matemáticas mais renomadas Anais de Matemática publicado.

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Resolvemos um problema particular há muito aberto, mostrando que uma família infinita particular de objetos algébricos - grupos - tem a propriedade T e, portanto, é muito incompatível com o Geometria euclidiana é ", resume Nowak.

E o dr. Marek Kaluba acrescenta: Graças à nossa pesquisa, entendemos certos aspectos geométricos de grupos que codificam simetrias.
Os objetos com o Propriedade Tque examinamos têm propriedades geométricas muito exóticas (não podem ser chamadas Simetrias no Geometria euclidiana será realizado). Isso parece desconectado da realidade? Na superfície, sim. Mas o conhecimento desta propriedade complicada de T já encontrou aplicação. Possibilita, por exemplo, a construção de expansores - gráficos com grande número de conexões, que podem ser encontrados em Algoritmos de streaming ser usado. E tal algoritmos são, entre outras coisas, para a exibição de Tendências no Twitter responsável.

A questão de saber se os grupos que estudamos têm essa propriedade T apareceu na imprensa na década de 90. Quando eu era um estudante de doutorado, esse era um problema que eu encontrava em todas as outras palestras e conferências Teoria do grupo ouvido - resume Piotr Nowak.
E Dawid Kielak acrescenta: Nosso resultado explica como um certo algoritmo funciona. É o algoritmo de substituição de produto usado quando você deseja retirar itens de um grande conjunto, por exemplo, B. um conjunto com mais elementos do que o número de partículas do universo. Este algoritmo Ele existe desde a década de 1990 e funciona muito melhor do que o esperado. Nosso artigo explica por que funciona tão bem - diz o Prof. Kielak.

E acrescenta: a ciência da computação é uma novidade Física. O que nos rodeia não são apenas partículas, mas cada vez mais algoritmos. Nosso trabalho como matemáticos será entender algoritmos, mostrar por que eles funcionam ou não; por que eles são rápidos ou lentos. Os cientistas têm contado com cálculos de computador para suas provas matemáticas. O uso de computadores para provar teoremas em matemática não foi considerado particularmente elegante. A comunidade de matemático teórico principalmente torceu o nariz para computadores. Aqui, no entanto, essa abordagem moderna funcionou extremamente bem.

O computador apenas fez a tarefa. Mas não substituiu a lógica. Nossa ideia era aplicar a redução de um problema infinito a um problema finito - diz o Prof. Kielak. Marek Kaluba acrescenta: Temos nosso problema em um Problema de otimização reduzido e então para isso Otimização Ferramentas padrão usadas - algoritmos que os engenheiros usam para projetar componentes.

O computador recebeu a tarefa de encontrar uma matriz que atendesse a certos critérios. A máquina criou uma solução, verificou o quão bem ela atendia às condições dadas e gradualmente melhorou essa matriz para atingir a menor taxa de erro possível. A única questão era quão pequena é a margem de erro que ele pode alcançar; descobriu-se que o erro do computador na aproximação final era muito, muito pequeno. O cálculo do computador tornou isso possível - com os corretos argumentos matemáticos - Obtenha provas rigorosas.

O criado pelo computador Matrix tinha 4,5 mil colunas e 4,5 mil linhas. Marek Kaluba explica que o problema no qual eles estavam trabalhando era inicialmente grande demais para ser resolvido por eles mesmos com um supercomputador. Por isso usamos as simetrias internas desse problema para tornar mais fácil encontrar uma solução - diz ele. E ele explica que uma abordagem análoga também pode ser usada para resolver outros problemas no campo da otimização de objetos geométricos. Simetrias Marcados são. Essas simetrias (na forma algébrica) também serão observáveis ​​no problema de otimização e podem ser usadas para Redução da complexidade pode ser usado - diz o Dr. Kaluba. E ele acrescenta: Embora lidemos com matemática abstrata, queremos que nosso software seja útil também em aplicações técnicas.