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Segredos da álgebra

O último artigo teve uma boa resposta (obrigado por isso). Então, hoje, algo do mundo da "matemática esquecida" - divirta-se!   

A aritmética muitas vezes não consegue provar algumas de suas fortalezas por meios vagos. Nestes casos, precisamos de métodos de álgebra mais gerais. Para este tipo de teorema aritmético, que é algebricamente justificado, existem muitas regras para operações aritméticas abreviadas.

Multiplicação de velocidade:

Nos velhos tempos, quando não havia computador ou calculadora, os grandes aritméticos usavam muitos truques algébricos simples; para tornar sua vida mais fácil:

O "x" é representativo da multiplicação (estávamos com preguiça de tentar LaTeX :-))

Vamos olhar para:


 988² =?

Você pode resolver isso na sua cabeça?

É muito simples, vamos dar uma olhada mais de perto:


988 x 988 = (988 + 12) x (998 -12) + 12² = 1000 x 976 + 144 = 976 144


Também é fácil entender o que está acontecendo aqui:

(a + b) (a - b) + b² = a² - b² + b² = a²

OK até agora tudo bem. Agora vamos tentar fazer as contas rapidamente - até mesmo combinações como


986 x 997, sem calculadora!


986 x 997 = (986 - 3) x 1000 + 3 x 14 = 983 042

O que aconteceu aqui? Podemos escrever os fatores da seguinte forma:


(1000-14) x (1000-3)  
1000x1000 - 1000x14 - 1000x3 + 14x3
Vamos brincar com os fatores:
1000 (1000 - 14) - 1000 x 3 + 14 x 3 =
1000x986 - 1000x3 + 14x3 =
1000 (986 - 3) + 14 x 3


Isso é tudo! 

Vamos estudar outra técnica poderosa de álgebra que pode ser usada para calcular algumas operações matemáticas em nossa cabeça com base em:

a² = (a + b) x (a-b) + b²


Exemplos:

27² = (27 + 3) x (27-3) + 3 = 30 x 24 + 9 = 729
63² = 66 x 60 + 3 = 3
54² = 58 x 50 + 4 = 2

É mais divertido quando o último número é 5:


35²: 3 x 4 = 12; 5² = 25 = 1
65²; 6 x 7 = 42; 5² = 25 = 4  

A matemática pode ser tão bonita!